2.Fényelhajlás (diffrakció) kör alakú nyíláson (Lencsés távcsövekben)

Itt az probléma hengeres szimetriát mutat, így tehát illene az r,f, z hengerkoordinátákat bevezetni. Az útkülönbség:

r cos f sin a

A fáziskülönbség :

[Maple Plot]

Itt egy felületi integrált kell kiszámítani, mégbedig az xOy síkbeli R sugarú körlemezen lévő dS felületelemeken másodlagos hullámforrásokat helyezünk el, a Huyghens-Fresnel elvnek megfelelően. Az innen kiinduló hullámokat összegezzük az alábbi kettős integrállal:

[Maple Plot]

Nos ezt hengerkoordinátákban integráljuk, a dS területelemet az alábbi ábra szerint az r df dr-ként számoljuk ki:

[Maple Plot]

Ezáltal a fenti területintegrál így néz ki:

Ez egy macerás integrál, nem egy mai főiskolásnak való... Szerencsére azonban az ilyen típusú integrálokat a speciális matematika ismeri. Először a f változó szerint integrálunk, majd az r szerint. A f szerinti integrál a következő típusú:

[Maple Plot]

ahol

[Maple Plot]

Másfelől az elsőfajú Bessel függvények generátorfüggvénye:

[Maple Plot]

ahol Jn(x)az n-edrendű elsőfajú Bessel függvény. Ebben végezzük el az x=q és

[Maple Plot]

változócseréket, majd vegyük figyelembe a

[Maple Plot]

azonosságot. Ekkor a következő képletet kapjuk:

[Maple Plot]

Ezt integráljuk 0 és 2p között:

[Maple Plot]

No azt már könnyű belátni, hogy a jobboldal második integrálja nulla. Marad tehát a jobboldali első integrál, ami viszont nem függ f-től, így értéke 2p J0(q). Visszatérve az elektromos mező integráljához:

[Maple Plot]

Most az r szerint integrálunk, egészen a távcsőnyílás pereméig, vagyis R-ig. Ez az integrál már könnyebb:

[Maple Plot]

Itt a J1(x) az elsőfajú elsőrendű Bessel függvény. Hogyan változik a térerősség a fokális sík r iránya mentén? Ennek meghatározásához figyelembe vesszük azt, hogy az a szög nagyon kicsi, így a sin a hozzávetőleg egyenlő a tg a-val, így

[Maple Plot]

Most pedig vezessűk be a következő jelölést:

[Maple Plot]

Ezzel a térerősséga következő alakban írható:

[Maple Plot]

A fény intenzitáseloszlását a az E*Ekonjugált adja:

[Maple Plot]

Egy ilyen függvényt ábrázol az alábbi grafikon:

[Maple Plot]

A függvény maximumát itt egységnyire vettük. Ezt a függőleges tengely körül megforgatva kapjuk a síkbeli fényintenzitás eloszlását:

[Maple Plot]

Ezt természetesen egy ernyőre felfogatva valami ilyesmit látunk:

[Maple Plot]

Nos, ilyennek látszik egy csillag képe egy lencsés távcsőben, ideális esetben, erősen felnagyítva. A középső pacni az úgynevezett Airy-korong, a körülötte halványan sejlő gyűrű az első diffrakciós gyyűrű. A második gyűrű már nagyon halvány. Namost az Airy-korong mérete egy jó kukkerban ezredmilliméter nagyságrendű.

3.A fénymennyiség eloszlásának számítása lencsés távcsövekben

A kiinduláshoz használt képlet:

[Maple Plot]

Az Airy korongba eső fényhányadot úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk a fenti felület és a vízszintes sík által közrezárt térfogatot (V), majd az Airy-korong alatti térfogatot (V1), majd ebből képezzük a V1/V arányt. Lássuk tehát V-t:

[Maple Plot]

A f szerint integrálva:

[Maple Plot]

Ennek értéke:

[Maple Plot]

Az egyszerűség kedvéért legyen R=1 és q=1. Ekkor

V=39.47841762

Az Airy korongba jutó fénymennyiséget úgy számítjuk ki, hogy a J1(x)=0 egyenlet első megoldásáig (az Airy korong széléig) integrálunk. Jelöljük ezt az értéket l1-gyel. Ezzel

[Maple Plot]

Az integrálás után ezt kapjuk:

[Maple Plot]

Ennek értéke R=1 és q=1-re, továbbá l1=3.831705970...

V1=33.07442094

Az Airy-korongba jutó hányadot a V1/V=0.8377848691 arány adja. Tehát az Airy korongba az összes fényáram mintegy 84%-a kerül. Lássuk most az első diffrakciós gyűrűt. Ehhez ugyanezt az integrált kell kiszámítani, csak az integrációs határok módosulnak. l1 marad ugyanaz mint fent,l2=7.015586670 a J1(x)=0 egyenlet második megoldása. e két érték adja az első diffrakciós gyűrű belső illetve külső peremét.

[Maple Plot]

Ennek értéke:

[Maple Plot]

R=1-re és q=1-re:

V2=2.848196726

Az első diffrakciós gyűrűbe jutó fényhányad:

V2/V=0.07214566585.

Az első diffrakciós gyűrűbe tehát a teljes fényáram kb 7.2%-a jut. Megadjuk végre Vk általános képletét, k=3,4,5...-re:

[Maple Plot]

Végül íme itt az eredmény k=3-ra:

V3=1.094220902

Ezzel

V3/V=0.02771693923

A második gyűrűbe jutó fényhányad tehát kb 2.8 %.