2.Fényelhajlás (diffrakció) központi kitakarásos rendszerekben (Newtonok, katadioptrikus rendszerek)

Itt is a probléma hengeres szimetriát mutat, így tehát illene az r,f, z hengerkoordinátákat bevezetni. Az útkülönbség:

r cos f sin a

A fáziskülönbség :

[Maple Plot]

Itt egy felületi integrált kell kiszámítani, mégbedig az xOy síkbeli R sugarú körlemezen lévő dS felületelemeken másodlagos hullámforrásokat helyezünk el, a Huyghens-Fresnel elvnek megfelelően. Az innen kiinduló hullámokat összegezzük az alábbi kettős integrállal:

[Maple Plot]

Csakhogy itt az S felület, amin az integrálás végzendő, nem körlemez; ki kell vonnunk ebből a segédtükör felületét, hiszen innen nem érkeznek hullámok a kitakarás miatt. Jelöljük a segéftükör sugarát r0-lal. Az integrál tehát:

[Maple Plot]

Itt már integráltunk a f szög szerint, maradt az integrálás r szerint. Ezt a lencsés távcsöveknél vázolt eljárással elvégezve a következő képlethez jutunk:

[Maple Plot]

Itt is alkalmazható a kis a szögekre a sin a= tg a közekítés, így:

[Maple Plot]

és

[Maple Plot]

Alkalmazzuk most a

[Maple Plot]

jelölést! Ezzel

[Maple Plot]

A fény intenzitáseloszlást E*Ekonjugált adja meg, de mivel az E valós, E=Ekonjugált és így itt ez E2-ként számítható ki:

[Maple Plot]

Itt tehát a r az Airy korong közepétől mért távolság a fokális síkban, R a főtükör sugara, r0 a segédtükör körvetületének a sugara. A 4p2E02-et I0-val jelöljük,

[Maple Plot]

Ellenőrzésképpen ha integrálunk a teljes fokális síkban, vissza kell kapjunk egy olyanmennyiséget, amely a kukkerunk fénygyűjtő területével arányos. Az integrál:

[Maple Plot]

Integrálás után a következőt kapjuk:

[Maple Plot]

Valóban, itt a p(R2-r02) = a főtükör területe - a segédtükör vetületének a területe. Most megpróbálom szemléltetni a kitakarás hatását. Az egyszerűség kedvéért legyen R=1, q=1. Így p=r0/R, azaz a kitakarás ekkor egy 0 és 1 közötti szám lesz, továbbá p=r0 lesz az R=1 miatt. Ezzel már viszonylag kényelmesen számolhatunk:

[Maple Plot]

Lássuk, hogyan néz ez ki az I(r) grafikusan ábrázolva:

[Maple Plot]

A fényeloszlás 3D diagramon ábrázolva:

[Maple Plot]

A fokális síkra vetített csillagkép a fenti kép alapján számolva:

[Maple Plot]

Látható, hogy a lencsés távcsövekhez képest az első diffrakciós gyűrű egy árnyalatnyival nagyobb. A kitakarás hatása jobban látszik, ha a p értékét 0.5-re növeljük, majd az eredményeket ábrázoljuk. Az 50 %-os kitakarás ugyan botrányosan nagy, de szemléltetésre megfelel. 3D diagram p=0.5-re:

[Maple Plot]

A csillag képe:

[Maple Plot]

Jól érzékelhető az első diffrakciós gyűrű erősödése, sőt, a második is! Végül egy extrém eset: a p=0.9, azaz a 90 %-os kitakarás: sokan így próbálják meg csökkenteni a nap megfigyelésekor a fényáramot. Az alábbi grafikonok megmutatják, milyen jelentős a kontrasztcsökkenés, a fénycsökkenéssel párhuzamosan: Tehát a 3D diagram p=0.9-re:

[Maple Plot]

A csillag képe:

[Maple Plot]

Háát...az Airy korongban alig marad fény, igen sok kerül át a diffrakciós gyűrűbe. A kontrasztcsökkenés katasztrofális.

Az amatőrcsillagászok kézikönyvében, a 61 oldalon található egy táblázat arról, hogy a központi kitakarás milyen hatással van az Airy korongba jutó fény hányadáról. Ellenőriztem a fenti képlettel a táblázatot; az egyezés tökéletes. Amennyiben a Newton távcsöveknek a tartólábait is figyelembe vesszük, akkor a diffrakciós gyűrűk mellett megjelenik a négyágú tüske (négyágú tükörtartó esetén) Nem tudom, mennyiségileg ez mit jelent pontosan. De azt mindannyian tapasztaltuk, hogy jól látható a fényes csillagok körül. Sajnos csak akkor tudom analitikusan kezelni a dolgot, ha a tükörtartó lábak vastagodnak a perem felé. Ekkor ugyanis a hengerszimmetria megmarad. Ilyen tartólábat azonban csak a bolond szerelne a kukkerjába. Marad a numerikus modellezés: ez azonban mellékhatásokkal jár...